Question

已知函数f（x）=x³+ax²-2x+5．
（1）若函数f（x）在（

2

3

，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，求实数a的值；
（2）是否存在正整数a，使得f（x）在（

1

3

，

1

2

）上既不是单调递增函数也不是单调递减函数？若存在，试求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，再根据f（x）=x³+ax²-2x+5在（

2

3

，1）上递减，在（1，+∞）上递增，可得f′（1）=0，从而可求实数a的值；
（2）求出函数的导数，由题意得在（

2

3

，1）内方程f′（x）=0不可能有两个解，故要使得f（x）在（

1

3

，

1

2

）上既不是单调增函数也不是单调减函数的充要条件是f′（

1

3

）•f′（

1

2

）＜0，从而可得实数a的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax-2
∵f（x）=x³+ax²-2x+5在（

2

3

，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
∴f′（1）=0，
∴a=-

1

2

． …（6分）
（2）令f′（x）=3x²+2ax-2=0．
∵△=4a²+24＞0，∴方程有两个实根，…（8分）
分别记为x₁ x₂．由于x₁•x₂=-

2

3

，说明x₁，x₂一正一负，
即在（

2

3

，1）内方程f′（x）=0不可能有两个解．…（10分）
故要使得f（x）在（

1

3

，

1

2

）上既不是单调增函数也不是单调减函数的充要条件是
f′（

1

3

）•f′（

1

2

）＜0，即（

1

3

+

2

3

a-2）（

3

4

+a-2）＜0．…（13分）
解得

5

4

＜a＜

5

2

． …（15分）
∵a是正整数，∴a=2．…（16分）

点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查函数的极值，同时考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是得出在（

2

3

，1）内方程f′（x）=0不可能有两个解