题目内容
已知动圆C经过坐标原点O，且圆心C在直线l：2x+y=4上．（1）求半径最小时的圆C的方程；
（2）求证：动圆C恒过一个异于点O的定点．
分析：（1）根据题意可设圆心的坐标为（a，4-2a），又因为动圆C经过坐标原点O，所以动圆的半径r=
，根据二次函数的性质求得半径，进而得到圆的方程．
（2）设定点坐标（x0，y0），可得x02-2ax0+y02-2（4-2a）y0=0，即a（4y0-2x0）+（x02+y02-8y0）=0，利用过定点的知识可得：4y0-2x0=0且x02+y02-8y0=0，进而得到定点．
5(a-
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（2）设定点坐标（x0，y0），可得x02-2ax0+y02-2（4-2a）y0=0，即a（4y0-2x0）+（x02+y02-8y0）=0，利用过定点的知识可得：4y0-2x0=0且x02+y02-8y0=0，进而得到定点．
解答：解：（1）因为圆心C在直线l：2x+y=4上，
所以设圆心的坐标为（a，4-2a）．
又因为动圆C经过坐标原点O，
所以动圆的半径r=
，所以半径r的最小值为
．
并且此时圆的方程为：（x-
）2+（y-
）2=
．
（2）设定点坐标（x0，y0），因为圆的方程为：（x-a）2+[y-（4-2a）]2=a2+（4-2a）2
所以x02-2ax0+y02-2（4-2a）y0=0，
即a（4y0-2x0）+（x02+y02-8y0）=0，
因为当a为变量时，x0，y0却能使该等式恒成立，
所以只可能4y0-2x0=0且x02+y02-8y0=0
即解方程组可得：y0=
，x0=
或者y0=0，x0=0（舍去）
所以圆C恒过一定点（
，
）．
所以设圆心的坐标为（a，4-2a）．
又因为动圆C经过坐标原点O，
所以动圆的半径r=
5(a-
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4
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并且此时圆的方程为：（x-
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（2）设定点坐标（x0，y0），因为圆的方程为：（x-a）2+[y-（4-2a）]2=a2+（4-2a）2
所以x02-2ax0+y02-2（4-2a）y0=0，
即a（4y0-2x0）+（x02+y02-8y0）=0，
因为当a为变量时，x0，y0却能使该等式恒成立，
所以只可能4y0-2x0=0且x02+y02-8y0=0
即解方程组可得：y0=
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所以圆C恒过一定点（
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点评：解决此类问题的关键是熟练掌握圆的标准方程，以及直线或者圆过定点的有关知识．
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