Question

已知在三棱锥S-ABC中，底面是边长为4的正三角形，侧面SAC⊥底面ABC，M，N分别是AB，SB的中点，SA=SC=2

3

：
（1）求证AC⊥SB
（2）求二面角N-CM-B的大小
（3）求点B到面CMN的距离．

Answer 1

分析：（1）由题意取AC中点D，连接SD、DB．则可证AC⊥平面SDB，从而AC⊥SB；
（2）过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连接NF，则NF⊥CM．从而∠NFE为二面角N-CM-B的平面角．在Rt△NEF中，利用正切函数，可求二面角N-CM-B的大小；
（3）设点B到平面CMN的距离为h，根据V_B-CMN=V_N-CMB，NE⊥平面CMB，可求点B到平面CMN的距离．

解答：解：（1）取AC中点D，连接SD、DB．
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SD且AC⊥BD，
∵SD∩BD=D
∴AC⊥平面SDB，
又SB?平面SDB，
∴AC⊥SB．
（2）∵AC⊥平面SDB，AC?平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC．
过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，
过E作EF⊥CM于F，连接NF，
则NF⊥CM．
∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角．
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC．
又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD．
∵SN=NB，∴NE=

1

2

SD=

1

2

SA2-AD2

=

1

2

12-4

=

2

，且ED=EB．
在正△ABC中，由平几知识可求得EF=

1

4

MB=

1

2

，
在Rt△NEF中，tan∠NFE=

EN

EF

=2

2

，
∴二面角N-CM-B的大小是arctan2

2

．
（3）在Rt△NEF中，NF=

EF2+EN2

=

3

2

，
∴S_△CMN=

1

2

CM•NF=

3

2

3

，S_△CMB=

1

2

BM•CM=2

3

．
设点B到平面CMN的距离为h，
∵V_B-CMN=V_N-CMB，NE⊥平面CMB，
∴

1

3

S_△CMN•h=

1

3

S_△CMB•NE，
∴h=

S△CMB•NE

S△CMN

=

4

3

2

．即点B到平面CMN的距离为

4

3

2

．

点评：本题以三棱锥为载体，考查线面垂直，线线垂直，考查面面角，考查点面距离，同时考查等体积转化思想．解题的关键是正确运用线面垂直的判定，正确作出面面角，