题目内容
已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求(1)
y | x |
(2)y-x的最小值;
(3)x2+y2的最大值和最小值.
分析:(1)整理方程可知,方程表示以点(2,0)为圆心,以
为半径的圆,设
=k,进而根据圆心(2,0)到y=kx的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值.
(2)设y-x=b,仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时,纵轴截距b取最小值.进而利用点到直线的距离求得y-x的最小值;
(3)x2+y2是圆上点与原点距离之平方,故连接OC,与圆交于B点,并延长交圆于C′,进而可知x2+y2的最大值和最小值分别为|OC′|和|OB|,答案可得.
3 |
y |
x |
(2)设y-x=b,仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时,纵轴截距b取最小值.进而利用点到直线的距离求得y-x的最小值;
(3)x2+y2是圆上点与原点距离之平方,故连接OC,与圆交于B点,并延长交圆于C′,进而可知x2+y2的最大值和最小值分别为|OC′|和|OB|,答案可得.
解答:解:(1)如图,方程x2+y2-4x+1=0表示以点(2,0)为圆心,以
为半径的圆.
设
=k,即y=kx,由圆心(2,0)到y=kx的距离为半径时直线与圆相切,
斜率取得最大、最小值.由
=
,
解得k2=3.
所以kmax=
,kmin=-
.
(2)设y-x=b,则y=x+b,仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时,纵轴截距b取最小值.
由点到直线的距离公式,得
=
,即b=-2±
,
故(y-x)min=-2-
.
(3)x2+y2是圆上点与原点距离之平方,故连接OC,与圆交于B点,并延长交圆于C′,可知B到原点的距离最近,点C′到原点的距离是大,此时有OB=
=2-
,OC′=
=2+
,
则(x2+y2)max=|OC′|2=7+4
,(x2+y2)min=|OB|2=7-4
.
3 |
设
y |
x |
斜率取得最大、最小值.由
|2k-0| | ||
|
3 |
解得k2=3.
所以kmax=
3 |
3 |
(2)设y-x=b,则y=x+b,仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时,纵轴截距b取最小值.
由点到直线的距离公式,得
|2-0+b| | ||
|
3 |
6 |
故(y-x)min=-2-
6 |
(3)x2+y2是圆上点与原点距离之平方,故连接OC,与圆交于B点,并延长交圆于C′,可知B到原点的距离最近,点C′到原点的距离是大,此时有OB=
x2+y2 |
3 |
x2+y2 |
3 |
则(x2+y2)max=|OC′|2=7+4
3 |
3 |
点评:本题主要考查了圆的方程的综合运用.考查了学生转化和化归的思想和数形结合的思想.
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