题目内容

已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求
(1)
yx
的最大值和最小值;
(2)y-x的最小值;
(3)x2+y2的最大值和最小值.
分析:(1)整理方程可知,方程表示以点(2,0)为圆心,以
3
为半径的圆,设
y
x
=k,进而根据圆心(2,0)到y=kx的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值.
(2)设y-x=b,仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时,纵轴截距b取最小值.进而利用点到直线的距离求得y-x的最小值;
(3)x2+y2是圆上点与原点距离之平方,故连接OC,与圆交于B点,并延长交圆于C′,进而可知x2+y2的最大值和最小值分别为|OC′|和|OB|,答案可得.
解答:精英家教网解:(1)如图,方程x2+y2-4x+1=0表示以点(2,0)为圆心,以
3
为半径的圆.
y
x
=k,即y=kx,由圆心(2,0)到y=kx的距离为半径时直线与圆相切,
斜率取得最大、最小值.由
|2k-0|
k2+1
=
3

解得k2=3.
所以kmax=
3
,kmin=-
3

(2)设y-x=b,则y=x+b,仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时,纵轴截距b取最小值.
由点到直线的距离公式,得
|2-0+b|
2
=
3
,即b=-2±
6

故(y-x)min=-2-
6

(3)x2+y2是圆上点与原点距离之平方,故连接OC,与圆交于B点,并延长交圆于C′,可知B到原点的距离最近,点C′到原点的距离是大,此时有OB=
x2+y2
=2-
3
,OC′=
x2+y2
=2+
3

则(x2+y2max=|OC′|2=7+4
3
,(x2+y2min=|OB|2=7-4
3
点评:本题主要考查了圆的方程的综合运用.考查了学生转化和化归的思想和数形结合的思想.
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