Question

如图，抛物线M：y=x²+bx（b≠0）与x轴交于O，A两点，交直线l：y=x于O，B两点，经过三点O，A，B作圆C．
（I）求证：当b变化时，圆C的圆心在一条定直线上；
（II）求证：圆C经过除原点外的一个定点；
（III）是否存在这样的抛物线M，使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径？

Answer 1

解：（I）在方程y=x²+bx中．令y=0，y=x，易得A（-b，0），B（1-b，1-b）
设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey=0，
则?，
故经过三点O，A，B的圆C的方程为x²+y²+bx+（b-2）y=0，
设圆C的圆心坐标为（x₀，y₀），
则x₀=-，y₀=-，∴y₀=x₀+1，
这说明当b变化时，（I）中的圆C的圆心在定直线y=x+1上．
（II）设圆C过定点（m，n），则m²+n²+bm+（b-2）n=0，整理得（m+n）b+m²+n²-2n=0，
它对任意b≠0恒成立，∴?或
故当b变化时，（I）中的圆C经过除原点外的一个定点坐标为（-1，1）．
（III）抛物线M的顶点坐标为（-，-），若存在这样的抛物线M，使它的顶点与它对应的圆C的圆心之间的距离不大于圆C的半径，
则|-|≤，
整理得（b²-2b）²≤0，因b≠0，∴b=2，
以上过程均可逆，故存在抛物线M：y=x²+2x，使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径．
分析：（I）在方程y=x²+bx中．令y=0，y=x，易得A，B的坐标表示，设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey=0，利用条件得出，写出圆C的圆心坐标的关系式，从而说明当b变化时，圆C的圆心在定直线y=x+1上．
（II）设圆C过定点（m，n），则m²+n²+bm+（b-2）n=0，它对任意b≠0恒成立，从而求出m，n的值，从而得出当b变化时，（I）中的圆C经过除原点外的一个定点坐标；
（III）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的抛物线M，使它的顶点与它对应的圆C的圆心之间的距离不大于圆C的半径，再利用不等关系，求出b，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
点评：本题考查了二次函数解析式的确定，圆的一般方程，抛物线的简单性质等知识点．综合性较强，考查学生数形结合的数学思想方法．