Question

已知数列{a_n}的前N项和为S_n，a₁=1，S_n+1=2S_n+3n+1（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+3}是等比数列；
（2）对k∈N*，设f(n)=

Sn-an+3n，n=2k-1 log2(an+3)，n=2k

求使不等式f（m）＞f（2m²）恒成立的自然数m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，S_n+1=2S_n+3n+1，知S₂=2S₁+4=a₁+a₂，由此能够证明数列{a_n+3}是公比为2，首项为a₁+3=4的等比数列．
（2）由a_n+3=4•2^n-1．知an=2n+1-3，Sn=

4(1-2n)

1-2

-3n=2n+2-3n-4．所以f(n)=

2n+1-1，n=2k-1 n+1，n=2k

(k∈N*)．由此能求出使不等式f（m）＞f（2m²）恒成立的自然数m的最小值．

解答：解：（1）∵a₁=1，S_n+1=2S_n+3n+1，∴S₂=2S₁+4=a₁+a₂．∴a₂=5．
又当n≥2时，S_n=2S_n-1+3（n-1）+1，∴S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+3，
即得a_n+1=2a_n+3．a_n+1+3=2（a_n+3），（n≥2）．----------------------------（4分）

a2+3

a1+3

=

8

4

=2，∴数列{a_n+3}是公比为2，首项为a₁+3=4的等比数列．…（2分）
（2）由（1），知a_n+3=4•2^n-1．∴an=2n+1-3，Sn=

4(1-2n)

1-2

-3n=2n+2-3n-4．
∴f(n)=

2n+1-1，n=2k-1 n+1，n=2k

(k∈N*)．…（4分）
①当m为偶数时，∵f（m）=m+1，f（2m²）=2m²+1，
∴不存在自然数m，使f（m）＞f（2m²）恒成立．…（2分）
②当m为奇数时，f（m）=2^m+1-1，f（2m²）=2m²+1，而f（m）＞f（2m²），
当m=1时，f（m）=2¹⁺¹-1=3=f（2m²）=3；
当m=3时，f（m）=2²⁺¹-1=15＜f（2m²）=19；--（2分）
当m=5时，f（m）=2³⁺¹-1=63＞f（2m²）=51；
当m≥5时，即证：2^m＞m²+1恒成立
ⅰ）m=5，已证
ⅱ）假设m=k（k≥5），结论成立，即2^k＞k²+1
则m=k+2时，2^k+2=4•2^k＞4（k²+1）
而4（k²+1）-（k+2）²-1=k（3k-4）-1＞0
则2^k+2＞（k+2）²+1
即 m=k+2时，结论成立
所以当m≥5且为奇数，f（m）＞f（2m²）成立，-（3分）
此时m的最小值为5．---（1分）

点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，合理地运用反证法进行证明．注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．