Question

在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为“格点”，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N^*）个格点，则称函数f（x）为“k阶格点函数”．下列函数中是“一阶格点函数”的有

 

①f（x）=|x|；②f(x)=

2

(x-1)2+3；③f(x)=(

1

2

)x-2；④f(x)=log

1

2

(x+1)  ⑤f(x)=

1

x-1

．

Answer 1

分析：由定义对四个函数逐一验证，找出只有一个整数点的函数即可，①中f（k）=k（k∈N^*）；②中的函数只有当x=1时才是格点；③中的函数可以验证横坐标为1，2时，f（x）均为整数，④中的函数验证x=0，x=1时，取到整点；⑤中的函数验证x=0，x=2即可排除．

解答：解：①中，∵当x=k时，f（k）=k（k∈N^*），
∴f（x）=|x|不为“一阶格点”函数，故①错误；
②中，∵x=1时，f（x）=3．当x≠0，x∈Z时，f（x）均为非整数，
故f（x）=

2

（x-1）²+3只有（1，3）一个格点，
故函数为“一阶格点”函数，故②正确；
③中，∵x=1时，f（x）=2，x=2时，f（x）=1，
故f(x)=(

1

2

)x-2不为“一阶格点”函数，故③错误；
④中，∵x=0时，f（x）=0，
当x=1，时，f（x）=-1，
故f(x)=log

1

2

(x+1) 不为“一阶格点”函数，故④错误；
⑤中，∵x=0时，f（x）=-1，
当x=2，时，f（x）=1，
故f(x)=

1

x-1

不为“一阶格点”函数，故⑤错误．
故答案为：②．

点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．