题目内容
已知数列{an}的前n项和Sn是二项式(1+2x)2n(n∈N* )展开式中含x奇次幂的系数和.(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设f(n)=




(3)证明:





【答案】分析:(1)记(1+2x)2n=a+a1x+…+a2nx2n,利用赋值可分别令x=1得:32n=a+a1+…+a2n,令x=-1得:1=a-a1+a2-a3+…-a2n-1+a2n两式相减得:32n-1=2(a1+a3+…+a2n-1),从而可求
(2)由(1)可得
,注意到f(n)+f(1-n)=
,从而可考虑利用倒序相加求和即可
(3)由
=
=
,故可以利用裂项求和先求和,然后利用二展开式进行放缩可证
解答:解:(1)记(1+2x)2n=a+a1x+…+a2nx2n
令x=1得:32n=a+a1+…+a2n
令x=-1得:1=a-a1+a2-a3+…-a2n-1+a2n
两式相减得:32n-1=2(a1+a3+…+a2n-1)
∴
(2分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4×9n-1
当n=1时,a1=S1=4,适合上式
∴an=4×9n-1(4分)
(2)
注意到
=
(6分)
令
则T=
∴

故
,即f(0)+f(
)+f(
)+…+f(
)=
(8分)
(3)
=
=
(n≥2)(10分)
∴
=
(12分)
∵9n-1=(8+1)n-1=Cn1×8+Cn2×82+…+Cnn8n
=8(4n2-3n)
从而可得,
+
+…+
≥
(1-
).(14分)
点评:本题主要考查了利用赋值法求二项展开式的系数,及数列求和中的倒序相加、裂项求和等方法的应用,还要注意放缩法在证明不等式中的应用.
(2)由(1)可得


(3)由


=

解答:解:(1)记(1+2x)2n=a+a1x+…+a2nx2n
令x=1得:32n=a+a1+…+a2n
令x=-1得:1=a-a1+a2-a3+…-a2n-1+a2n
两式相减得:32n-1=2(a1+a3+…+a2n-1)
∴

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4×9n-1
当n=1时,a1=S1=4,适合上式
∴an=4×9n-1(4分)
(2)

注意到


令

则T=

∴


故





(3)


=

∴

=

∵9n-1=(8+1)n-1=Cn1×8+Cn2×82+…+Cnn8n

从而可得,





点评:本题主要考查了利用赋值法求二项展开式的系数,及数列求和中的倒序相加、裂项求和等方法的应用,还要注意放缩法在证明不等式中的应用.

练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}的前n项和Sn=an2+bn(a、b∈R),且S25=100,则a12+a14等于( )
A、16 | B、8 | C、4 | D、不确定 |