Question

直三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三视图如图所示，D、E分别为棱CC₁和B₁C₁的中点．
（1）求异面直线A₁D与AB所成角的余弦值；
（2）求点C到平面A₁BD的距离；
（3）在AC上是否存在一点F，使EF⊥平面A₁BD，若存在确定其位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，分别求出两条直线所在的向量，进而利用向量的有关运算求出空间向量的夹角，再转化为两条异面直线的夹角．
（2）求出平面的法向量以及平面的一条斜线所在的向量，再求出斜线所在的向量在法向量上射影，进而得到答案．
（3）设F（x，0，0），由E（0，1，2），可求出向量

EF

，则

EF

为平面A₁BD的一个法向量，由此构造方程，求出x值，即可得到F点的位置．

解答：解：（1）如图建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），D（0，0，1），A₁（0，2，2），A（0，2，0），
所以

A1D

=(0，-2，-1)，

AB

=(2，-2，0)，
所以cos＜A₁D，AB＞=|

A1D • AB

| A1D || AB |

|=

10

5

．

所以异面直线A₁D与AB所成角的余弦值为

10

5

．
（2）由（1）可得：

A1D

=(0，-2，-1)

，BD

(-2，0，1)，
设平面A₁DB的法向量为

n1

=(x，y，z)，
则

-2y-z=0 -2x+z=0

，取x=-1
所以可得：

n1

=(-1，1，-2)，
又因为

CD

=(0，0，1)，
所以cos＜n₁，

CD

＞=

n1• CD

|n1|•| CD |

=

2

6 •1

=

2 6

6

，
所以d=|

CD

|•

2 6

6

=

2 6

6

．
所以点C到平面A₁BD的距离

2 6

6

．
（3）存在F为AC的中点，使EF⊥平面A₁BD
设F（0，y，0），由E（1，0，2）得

EF

=(-1，y，-2)
若EF⊥平面A₁BD，则

EF

∥

n1

由

n1

=(-1，1，-2)得y=1，
∴F为AC的中点
∴存在F为AC的中点，使EF⊥平面A₁BD

点评：本题考查的知识点是利用空间向量夹角空间夹角与空间距离等问题，并且考查由三视图还原实物图，以及基本运算能力．