题目内容

如右图(1)所示,定义在区间上的函数,如果满     

足:对常数A,都有成立,则称函数  

在区间上有下界,其中称为函数的下界. (提示:图(1)、(2)中的常数可以是正数,也可以是负数或零)

(Ⅰ)试判断函数上是否有下界?并说明理由;

(Ⅱ)又如具有右图(2)特征的函数称为在区间上有上界.

请你类比函数有下界的定义,给出函数在区间

有上界的定义,并判断(Ⅰ)中的函数在上是否

有上界?并说明理由;                   

(Ⅲ)若函数在区间上既有上界又有下界,则称函数

在区间上有界,函数叫做有界函数.试探究函数 (是常数)是否是是常数)上的有界函数?

(Ⅰ)   A=32   (Ⅱ) 存在常数B=-32(III)上的有界函数


解析:

:(I)解法1:∵,由

       ∵,      ∴,---2分

∵当时,,∴函数在(0,2)上是减函数;

时,,∴函数在(2,+)上是增函数;

是函数的在区间(0,+)上的最小值点,

∴对,都有,---4分即在区间(0,+)上存在常数A=32,使得对都有成立,∴函数在(0,+)上有下界. ---5分   

[解法2:

当且仅当时“=”成立∴对,都有

即在区间(0,+)上存在常数A=32,使得对都有成立,

∴函数在(0,+)上有下界.

(II)类比函数有下界的定义,函数有上界可以这样定义:

定义在D上的函数,如果满足:对常数B,都有≤B成立,则称函数在D上有上界,其中B称为函数的上界. -----7分

,由(1)知,对,都有

,∵函数为奇函数,∴

,∴

即存在常数B=-32,对,都有,

∴函数在(-, 0)上有上界. ---------9分

(III)∵,由,∵

    ∵ ,  ∴,----------10分

∵当时,,∴函数在(0,)上是减函数;

时,,∴函数在(,+)上是增函数;

是函数的在区间(0,+)上的最小值点, ------11分

①当时,函数上是增函数;

是常数,∴都是常数

,

∴对常数A,B,都有

即函数上既有上界又有下界--------12分

②当  时函数上是减函数

∴对都有∴函数上有界.-- -13分

③当时,函数上有最小值

,令B=中的最大者则对常数A,B,都有

∴函数上有界.综上可知函数上的有界函数---14分

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