题目内容
如右图(1)所示,定义在区间上的函数,如果满
足:对,常数A,都有成立,则称函数
在区间上有下界,其中称为函数的下界. (提示:图(1)、(2)中的常数、可以是正数,也可以是负数或零)
(Ⅰ)试判断函数在上是否有下界?并说明理由;
(Ⅱ)又如具有右图(2)特征的函数称为在区间上有上界.
请你类比函数有下界的定义,给出函数在区间上
有上界的定义,并判断(Ⅰ)中的函数在上是否
有上界?并说明理由;
(Ⅲ)若函数在区间上既有上界又有下界,则称函数
在区间上有界,函数叫做有界函数.试探究函数 (是常数)是否是(、是常数)上的有界函数?
(Ⅰ) A=32 (Ⅱ) 存在常数B=-32(III)上的有界函数
解析:
:(I)解法1:∵,由得,
∵, ∴,---2分
∵当时,,∴函数在(0,2)上是减函数;
当时,,∴函数在(2,+)上是增函数;
∴是函数的在区间(0,+)上的最小值点,
∴对,都有,---4分即在区间(0,+)上存在常数A=32,使得对都有成立,∴函数在(0,+)上有下界. ---5分
[解法2:
当且仅当即时“=”成立∴对,都有,
即在区间(0,+)上存在常数A=32,使得对都有成立,
∴函数在(0,+)上有下界.
(II)类比函数有下界的定义,函数有上界可以这样定义:
定义在D上的函数,如果满足:对,常数B,都有≤B成立,则称函数在D上有上界,其中B称为函数的上界. -----7分
设则,由(1)知,对,都有,
∴,∵函数为奇函数,∴
∴,∴
即存在常数B=-32,对,都有,
∴函数在(-, 0)上有上界. ---------9分
(III)∵,由得,∵
∴ ∵ , ∴,----------10分
∵当时,,∴函数在(0,)上是减函数;
当时,,∴函数在(,+)上是增函数;
∴是函数的在区间(0,+)上的最小值点, ------11分
①当时,函数在上是增函数;
∴
∵、是常数,∴、都是常数
令,
∴对,常数A,B,都有
即函数在上既有上界又有下界--------12分
②当 时函数在上是减函数
∴对都有∴函数在上有界.-- -13分
③当时,函数在上有最小值
=
令,令B=、中的最大者则对,常数A,B,都有
∴函数在上有界.综上可知函数是上的有界函数---14分