题目内容
【题目】经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足
（其中
，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本
万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为
元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．
【答案】（1）
（
）；（2）当
时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为
万元；当
时，促销费用投入
万元,厂家的利润最大，为
万元.
【解析】
（1）根据产品的利润
销售额
产品的成本建立函数关系；
（2）利用导数可求出该函数的最值．
（1）由题意知，
，
将
代入化简得：（）；
（2）
，
（ⅰ）当时，
①当
时，
，所以函数在
上单调递增，
②当
时，
，所以函数在
上单调递减，
从而促销费用投入
万元时，厂家的利润最大；
（ⅱ）当时，因为函数在上单调递增，
所以在
上单调递增，故当
时，函数有最大值，
即促销费用投入万元时，厂家的利润最大.
综上，当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为万元；
当时，促销费用投入万元，厂家的利润最大，为万元.
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