题目内容
【题目】椭圆(
)的左右焦点分别为
,
,且离心率为
,点
为椭圆上一动点,
面积的最大值为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左顶点为,过右焦点
的直线
与椭圆相交于
,
两点,连结
,
并延长交直线
分别于
,
两点,问
是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(1)首先设,然后根据离心率得到
与
的关系,再根据三角形面积取得最大值时点
为短轴端点,由此求得
的值,从而求得椭圆方程;(2)首先设出直线
的方程,并联立椭圆方程,然后利用韦达定理结合向量数量积的坐标运算求得定值.
试题解析:(1)已知椭圆的离心率为,不妨设
,
,即
,其中
,
又面积取最大值
时,即点
为短轴端点,因此
,解得
,
则椭圆的方程为.
(2)设直线的方程为
,
,
,联立
可得
,则
,
,
直线的方程为
,直线
的方程为
,
则,
,
从而,
,
则,
即为定值
.
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