题目内容
【题目】如图所示,在三棱锥中,侧面
,
是全等的直角三角形,
是公共的斜边且
,
,另一侧面
是正三角形.
(1)求证: ;
(2)若在线段上存在一点
,使
与平面
成
角,试求二面角
的大小.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:
(1)利用题意将几何体补形,然后建立空间直角坐标系即可证得.
(2)利用空间坐标系结合平面的法向量可得二面角的大小为
.
试题解析:
解:(1)证明:作面
于
,连接
,由题意得,
,故
中,
,所以
为直角三角形,
,又
为
在平面
内的射影,
,同理得
,又
,所以四边形
是正方形且
,将所得四棱锥补成正方体,建立如图所示的空间直角坐标系,则
,
,
,
,
,
,所以
,则
.
(2)设是线段上
上一点,则
,
,平面
的一个法向量为
,
,要使
与平面
成
角,由图可知,
与
的夹角为
,所以
,则
,解得
,则
,故线段
上存在
点,当
时,
与平面
成
角.
,
,
,
,
,
,设平面
的法向量
,
则,
,令
则
,
,同理平面
的法向量
,
,设平面
与平面
成角为
,
则,
.
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