题目内容
【题目】如图所示，在三棱锥
中，侧面
， 
是全等的直角三角形， 
是公共的斜边且
， 
，另一侧面
是正三角形.
（1）求证： 
；
（2）若在线段
上存在一点
，使
与平面
成
角，试求二面角
的大小.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：
(1)利用题意将几何体补形，然后建立空间直角坐标系即可证得
.
(2)利用空间坐标系结合平面的法向量可得二面角
的大小为
.
试题解析：
解：（1）证明：作
面
于
，连接
，由题意得， 
，故
中， 
，所以
为直角三角形， 
，又
为
在平面
内的射影， 
，同理得
，又
，所以四边形
是正方形且
，将所得四棱锥补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，则
， 
， 
， 
， 
， 
，所以
，则
.
（2）设
是线段上
上一点，则
， 
，平面
的一个法向量为
， 
，要使
与平面
成
角，由图可知， 
与
的夹角为
，所以
，则
，解得
，则
，故线段
上存在
点，当
时， 
与平面
成
角.
， 
， 
， 
， 
， 
，设平面
的法向量
，
则
， 
，令
则
，
，同理平面
的法向量
，
，设平面
与平面
成角为
，
则
， 
.
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