Question

已知F1，F2分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦点，若椭圆的右准线上存在一点P，使得线段PF₁的垂直平分线过点F₂，则离心率的范围是

 

．

Answer 1

分析：设点P（

a2

c

，m），则由中点公式可得线段PF₁的中点K的坐标，根据 线段PF₁的斜率与 KF2的斜率之积等于-1，求出 m² 的解析式，再利用 m²≥0，得到3e⁴+2e²-1≥0，求得 e 的范围，再结合椭圆离心率的范围进一步e 的范围．

解答：解：由题意得  F1（-c，0）），F2 （c，0），设点P（

a2

c

，m），则由中点公式可得线段PF₁的中点
K（

a2-c2

2c

，

m

2

 ），∴线段PF₁的斜率与 KF₂的斜率之积等于-1，∴

m-0

a2 c +c

•

m 2 -0

a2-c2 2c -c

=-1，
∴m²=-（

a2

c

+c）•（

a2

c

-3c）≥0，∴a⁴-2a²c²-3 c⁴≤0，
∴3e⁴+2e²-1≥0，∴e²≥

1

3

，或 e²≤-1（舍去），∴e≥

3

3

．
又椭圆的离心力率  0＜e＜1，故  

3

3

≤e＜1，故答案为[

3

3

，1）．

点评：本题考查线段的中点公式，两直线垂直的性质，以及椭圆的简单性质的应用，属于中档题．