Question

在算式“4×□+1×△=30”的两个□，△中，分别填入两个正整数，使它们的倒数之和最小，则这两个数构成的数对（□，△）应为

1. A.
   （4，14）
2. B.
   （5，10）
3. C.
   （6，6）
4. D.
   （3，18）

Answer 1

B
分析：先设出△，□，然后利用代入消元法表示出其倒数和，由于该倒数和的形式中分母次数高于分子，则求其倒数的最大值，这与原倒数和的最小值是一致的；最终把代数式转化为x++a（x＞0）的形式，利用基本不等式求最值，则由取最值的条件即可解决问题．
解答：设1×m+4n=30，m、n∈N₊，则m=30-4n，其中1≤n≤7．
所以y===，
则 =====+
==-+=-[（10-n）+]+≤-×2×+=．
当10-n=时取等号，即 取得最大值，y取得最小值．
解得n=5，则m=10．
则这两个数构成的数对（□，△）应为（5，10）
故选B．
点评：本题主要考查了代数式向形如x++a（x＞0，a为常数）的代数式的转化方法，注意分子次数必须高于分母次数；同时考查基本不等式的运用条件，特别是取等号时的条件．该题代数运较为繁琐，运算量较大，属于难题．