题目内容

命题:
①设
a
b
c
是互不共线的非零向量,则(
a
b
c
-(
c
a
b
=
0

②“a=1”是“函数f(x)=lg(ax+1)在(0,+∞)单调递增”的充分不必要条件;
③已知α,β∈R,则“α=β”是“tanα=tanβ”的充要条件;
④函数f(x)=2x-x2的在(1,3)上至少一个零点;
x-1
(x-2)≥0
的解集为[2,+∞);
⑥函数y=x3在x=0处切线不存在.
其中正确命题的个数为(  )
分析:①利用向量共线的充要条件即可判断出;
②利用复合函数的单调性的判断方法即可得出;
③由正切函数的性质即可判断出;
④由函数零点的判定定理即可得出;
⑤不要漏了x=1时的情况;
⑥利用导数可得出切线的斜率,从而切线存在.
解答:解:①假设(
a
b
c
-(
c
a
b
=
0
正确,则(
a
b
)
c
=(
c
a
)
b
,若
a
b
c
a
不全为0,则向量
c
b
共线,与已知
a
b
c
是互不共线的非零向量矛盾,因此不正确;
②当a=1时,函数f(x)=lg(x+1)在(0,+∞)单调递增;若函数f(x)=lg(ax+1)在(0,+∞)单调递增,则a>0.故“a=1”是“函数f(x)=lg(ax+1)在(0,+∞)单调递增”的充分不必要条件,因此正确;
③由“α=β=kπ+
π
2
”推不出“tanα=tanβ”;反之也不成立,如tan
π
4
=tan(
π
4
+π)
,但是
π
4
4
.因此则“α=β”是“tanα=tanβ”的既不充分也不必要条件;
④∵f(1)f(3)=(2-1)×(8-9)<0,∴函数f(x)=2x-x2的在(1,3)上至少一个零点,故正确;
⑤当x=1时,满足
x-1
(x-2)≥0
;当x>1时,原不等式可化为x-2≥0,解得x≥2.综上可知:原不等式的解集为{1}∪[2,+∞),故⑤不正确;
⑥∵y=3x2,∴f(0)=0,故函数y=x3在x=0处切线为x轴.因此⑥不正确.
综上可知:只有②④正确,即正确命题的个数为2.
故选B.
点评:熟练掌握向量共线的充要条件、复合函数的单调性的判定方法、函数零点的判定定理、正切函数的性质、不等式的解法及导数的几何意义是解题的关键.
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