Question

已知直线l₁的参数方程为

x=-3+ 2 2 t y=- 3 2 + 2 2 t

（t是参数），直线l₂的极坐标方程为ρ（2sinθ+cosθ）+6=0
（1）求直线l₁与直线l₂的交点P的坐标
（2）若直线l过点P，且与圆C：

x=5cosθ y=5sinθ

（θ为参数）相交于A、B两点，|AB|=8，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）把极坐标方程以及参数方程转化为直角坐标方程，通过求解方程即可得到l₁与l₂的交点A的直角坐标；
（2）由题意可得圆的方程x²+y²=25，若设直线l的参数方程为

x=-3+tcosα y=- 3 2 +tsinα

(t为参数)，代入圆的方程化简可得|AB|=|t1-t2|=

9(2cosα+sinα)2+55

=8，解出方程即可得到直线的斜率进而得到直线l的方程．

解答：解：（1）∵直线l₂的极坐标方程为ρ（2sinθ+cosθ）+6=0
∴直线l₂的普通方程为2y+x+6=0
又∵直线l₁的参数方程为

x=-3+ 2 2 t y=- 3 2 + 2 2 t

∴(-3+

2

t)+(-3+

2

2

t)+6=0
∴t=0，∴

x=-3 y=- 3 2

∴P(-3，-

3

2

)
（2）由圆C的参数方程

x=5cosθ y=5sinθ

⇒x2+y2=25，
设直线l的参数方程为①

x=-3+tcosα y=- 3 2 +tsinα

(t为参数)，①代入圆的方程x²+y²=25
得4t²-12（2cosα+sinα）t-55=0，
∴△=16[9（2cosα+sinα）²+55]＞0，
所以方程有两相异实数根t₁、t₂，
∴|AB|=|t1-t2|=

9(2cosα+sinα)2+55

=8，
化简有3cos²α+4sinαcosα=0，解之cosα=0或tanα=-

3

4

，
从而求出直线l的方程为x+3=0或3x+4y+15=0．

点评：本题考查直线和圆的参数方程，参数方程与普通方程之间的转化，以及直线参数方程中参数的几何意义，求出|AB|，是解题的关键．