题目内容
已知函数
，任取
，记函数
在区间
上的最大值为
最小值为
记
. 则关于函数
有如下结论：
①函数
为偶函数；
②函数
的值域为
；
③函数
的周期为2；
④函数
的单调增区间为
.
其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号）
③④.
【解析】
试题分析：因为
，其中
分别是指函数
在区间
上的最大值、最小值，注意到函数
是最小正周期为
的函数，所以在区间的图像与在
的图像完全相同，所以
，所以
，所以函数
的一个周期为4，对该函数性质的研究，只须先探究
的性质即可.
根据的图像（如下图（1））与性质可知
当
时，在区间的最小值为
，最大值为
，此时
当
时，在区间的最小值为，最大值为
，此时
；
当
时，在区间的最小值为
，最大值为，此时
；
当
时，在区间的最小值为，最大值为1，此时
；
当
时，在区间的最小值为，最大值为1，此时
；
当
时，在区间的最小值为，最大值为，此时
作出
的图像，如下图（2）所示
综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为
，从图中可以看到函数的最小正周期为2，函数的单调递增区间为
，故只有③④正确.
考点：1.三角函数的图像与性质；2.分段函数.
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