Question

11．已知函数$f（x）=A（sin\frac{x}{2}cosφ+cos\frac{x}{2}sinφ）（A＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}）$的最大值是2，且f（0）=1．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，f（2A）=$\sqrt{3}$，2bsinC=$\sqrt{2}$c．求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据f（0）=1，及A的值求出φ的值即可；
（Ⅱ）由第一问确定出的f（x）解析式，结合f（2A）=$\sqrt{3}$，求出A的度数，已知等式利用正弦定理化简求出sinB的值，再由a的值，利用正弦定理求出b的值，由A与B的度数求出C的度数，确定出sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=A（sin$\frac{x}{2}$cosφ+cos$\frac{x}{2}$sinφ）=Asin（$\frac{x}{2}$+φ），
由于f（x）的最大值为2，且f（0）=1，得到A=2，2sinφ=1，即sinφ=$\frac{1}{2}$，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），
由f（2A）=$\sqrt{3}$，得到2sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，即sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A为锐角，
∴A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，即A=$\frac{π}{6}$，
把2bsinC=$\sqrt{2}$c利用正弦定理化简得：2sinBsinC=$\sqrt{2}$sinC，即sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即B=$\frac{π}{4}$，
∵a=2，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{2}$，C=$\frac{7π}{12}$，
∵sinC=sin（$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\sqrt{3}$+1．

点评 此题属于解三角形题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．