Question

设函数f（x）=m-

x+3

，若存在实数a、b（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则实数m的取值范围是（　　）

• A．（-

  9

  4

  ，-2]
• B．[-2，-

  5

  4

  ）
• C．[-3，-

  9

  4

  ）
• D．[-

  9

  4

  ，-

  5

  4

  ]

Answer 1

分析：由题意可知函数为减函数，f（a）=m-

a+3

=b，f（b）=m-

b+3

=a，由两式可得

a+3

+

b+3

=1，2m=a+b+1，换元可得p=

a+3

，q=

b+3

，故有p+q=1，a=p²-3，b=q²-3=（1-p）²-3，由二次函数区间的最值可得答案．

解答：解：由x+3≥0可得x≥-3，又由复合函数的单调性可知函数为减函数，
故有f（a）=m-

a+3

=b，f（b）=m-

b+3

=a，
两式相减可得

a+3

-

b+3

=a-b，即

a+3

-

b+3

=（a+3）-（b+3），
即

a+3

+

b+3

=1，两式相加可得2m=a+b+

a+3

+

b+3

=a+b+1，
记p=

a+3

，q=

b+3

，故有p+q=1，a=p²-3，b=q²-3=（1-p）²-3，
代入可得m=

a+b+1

2

=p²-p-2=(p-

1

2

)2-

9

4

，
又因为p+q=1且pq均为非负数，故0≤p≤1，由二次函数的值域可得：
当p=

1

2

时，q=

1

2

，与a＜b矛盾，m取不到最小值-

9

4

，当p=0或1时，m取最大值-2，
故m的范围是（-

9

4

，-2]，
故选A

点评：本题考查函数的定义域和值域的求解，涉及换元法的应用和二次函数区间的最值，属中档题．