Question

已知函数h（x）=x²，φ（x）=2elnx（其中e是自然对数的底数）．
（1）判断函数F（x）=h（x）-φ（x）的零点个数并证明你的结论；
（2）证明：当x＞0时，φ（x）图象不可能在直线y=2

e

x-e的上方．

Answer 1

分析：第（1）问判断函数的零点个数可通过函数的图象来解决，借助导数来判断函数的单调性及极值得到函数的图象，从而解决问题；第（2）问构造函数，再借助导数判断函数的单调性及极值得到函数的图象恒在x轴上方，问题得以解决．

解答：解：（1）函数F（x）只有一个零点．
证明：∵F（x）=h（x）-φ（x）=x²-2elnx（x＞0），
∴F'（x）=2x-

2e

x

=

2(x- e )(x+ e )

x

．
当x=

e

时，F'（x）=0．
∵当0＜x＜

e

时，F'（x）＜0，此时函数F（x）递减；
当x＞

e

时，F'（x）＞0，此时函数F（x）递增；
∴当x=

e

时，F（x）取极小值，其极小值为0．
所以函数F（x）只有一个零点．
（2）证明：令G（x）=φ（x）-2

e

x+e=2elnx-2

e

x+e，
则G'（x）=

2e

x

-2

e

=

2 e ( e -x)

x

，当x=

e

时，G'（x）=0．
∵当0＜x＜

e

时，G'（x）＞0，此时函数G（x）递增；
当x＞

e

时，G'（x）＜0，此时函数G（x）递减；
∴当x=

e

时，G（x）取极大值，其极大值为0．
从而G（x）=2elnx-2

e

x+e≤0，
即?（x）≤2

e

x-e（x＞0）恒成立，
所以当x＞0时，φ（x）图象不可能在直线y=2

e

x-e的上方．

点评：构造函数是解决问题的关键！能借助导数来判断函数的单调性及极值从而得到函数的图象．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、导数的思想以及问题转化的思想．