Question

【题目】已知函数f（x）=ax+ （a＞1）
（1）证明：函数f（x）在（﹣1，+∞）上为增函数；
（2）用反证法证明f（x）=0没有负数根．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由于函数f（x）=ax+ （a＞1）=ax+1﹣ ，

而函数 y=ax（a＞1）和函数y=﹣ 在（﹣1，+∞）上都为增函数，

故函数f（x）在（﹣1，+∞）上为增函数

（2）证明：假设f（x）=0有负数根为x=x0，且x0＜0，则有f（x0）=0，故有 +1= ①．

由于函数y=ax+1在R上是增函数，且a0+1=2，∴ +1＜2．

由于函数y= 在（﹣1，+∞）上是减函数，当x0∈（﹣1，0）时， =3，∴ ＞3，

∴①根本不可能成立，故①矛盾．

由于由于函数y= 在（﹣∞，﹣1）上是减函数，当x0∈（﹣∞，﹣1）时， ＜0，

而， +1＞1，∴①根本不可能成立，故①矛盾．

综上可得，①根本不可能成立，故假设不成立，故f（x）=0没有负数根．

【解析】（1）由于函数f（x）=ax+1﹣ ，而函数 y=ax（a＞1）和函数y=﹣ 在（﹣1，+∞）上都为增函数，可得函数f（x）在（﹣1，+∞）上为增函数．（2）假设f（x）=0有负数根为x=x0＜0，则有 +1= ①．分当x0∈（﹣1，0）时、当x0∈（﹣∞，﹣1）两种情况，分别根据 和 +1 的范围，可得①根本不可能成立，综上可得假设不成立，命题得证．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和反证法与放缩法的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项②将分子或分母放大（缩小)才能正确解答此题．