Question

(20)已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为

(I) 证明线段是圆的直径;

(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。

Answer 1

（20）本小题主要考查平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程，点到直线的距离等基础知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力，满分14分.

(Ⅰ)证法一：∵

∴（）²=（）²，即

整理得

=0,

∴x₁x₂+y₁y₂=0.                           ①

设点M（x，y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则

=0.

即（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0.

展开上式并将①代入得

x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0.

故线段AB是圆C的直径.

证法二：∵

∴

整理得

=0,

∴x₁x₂+y₁y₂=0.                           ①

若点（x，y）在以线段AB为直径的圆上，则

去分母得

（x-x₁）(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0.

点（x₁,y₁）,(x₁,y₂),(x₂,y₁),(x₂,y₂)满足上方程，展开并将①代入得

x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0.

所以在线段AB是圆C的直径.

证法三：∵

∴（）²=（）²，即

整理得

=0,

∴x₁x₂+y₁y₂=0.                           ①

以AB为直径的圆的方程是

展开，并将①代入得

x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0.

所以线段AB是圆C的直径.

(Ⅱ)解法一：设圆C的圆心为C（x，y），则

 

∵=2px₁，=2px₂（p＞0）.

 

∴x₁x₂=

 

又∵x₁x₂+y₁y₂=0.

 

∴x₁x₂= -y₁y₂,

 

∴-y₁y₂=

 

∵x₁x₂≠0,

 

∴y₁y₂≠0,

 

∴y₁y₂= -4p².

 

∴x=

  

=

所以圆心的轨迹方程为：

y²=px-2p².

设圆心C到直线x-2y=0的距离为d，则

当y=P时，d有最小值由题设得

,

∴p=2.

解法二：设圆C的圆心为C（x、y），则

∵ =2px₁, =2px₂(p＞0).

 

∴x₁x₂=

 

又∵x₁x₂+y₁y₂=0,

∴x₁x₂= -y₁y₂;

∵x₁x₂≠0.

∴y₁y₂= -4p².

 

∵x=

  

所以圆心的轨迹方程为

y²=px-2p².

设直线x-2y+m=0与x-2y=0的距离为则

m=±2.

因为x-2y+2=0与y²=px-2p²无公共点.

所以当x-2y-2=0与y²=px-2p²仅有一个公共点时，该点到x-2y=0的距离最小，最小值为

将②代入③得

y²-2py+2p²-2p=0,有

Δ=4p²- 4（2p²-2p）=0.

∵p＞0，

∴p=2.

解法三：设圆C的圆心为C（x，y），则

若圆心C到直线x-2y=0的距离为d，那么

d=

 

∵ =2px₁, =2px₂(p＞0).

 

∴x₁x₂=

 

又∵x₁x₂+y₁y₂=0,

∴x₁x₂= -y₁y₂,

∵x₁x₂≠0.

 

∴y₁y₂=-4p².

 

∴d=

 

  

当y₁+y₂=2p时，d有最小值由题意得

∴p=2.