题目内容

渔场中鱼群的最大养殖量为m吨,为保证鱼群的生长,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量,例如最大养殖量为10吨,实际养殖量为8吨,则空闲量为2吨.已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).(空闲率为空闲量与最大养殖量的比值)
(1)写出y关于x的函数表达式,并指出这个函数的定义域;
(2)求鱼群年增长量的最大值及此时k的取值范围.

解:(1)由题意,空闲率为1-,所以y=kx(1-),定义域(0,m).
(2)由(1)得y=kx(1-)=-+
因为x∈(0,m),k>0,所以当x=时,ymax=
由题意有0<x+y<m,即0<+<m.
因为m>0,解得-2<k<2又k>0,故k的取值范围为(0,2).
分析:(1)因为鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0),所以得出解析式,根据实际情况得到定义域;
(2)因为y为开口向下的抛物线,当x=时,又因为鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨不超过m,得到k的不等式,求出k的取值范围即可.
点评:考查学生根据实际问题选择函数类型的能力,以及二次函数最值的求法.
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