Question

渔场中鱼群的最大养殖量为m，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积成正比，比例系数为k（k＞0）
（I）写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；
（Ⅱ）求鱼群年增长量的最大值．

Answer 1

分析：（I）由鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k＞0）．我们根据题意求出空闲率，即可得到y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
（II）由（I）中给出的y关于x的函数关系式，我们使用配方法，易分析出鱼群年增长量的最大值．

解答：解：（I）由题意，空闲率为 1-

x

m

，
∴y=kx（1-

x

m

），定义域为（0，m）；
（II）由（1）得y=-

k

m

x2+kx=-

k

m

(x-

m

2

)2+

mk

4

，
因为 x∈（0，m），k＞0；
∴x=

m

2

时，ymax=

mk

4

．
故鱼群年增长量的最大值为

mk

4

．

点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．