Question

渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量，例如最大养殖量为10吨，实际养殖量为8吨，则空闲量为2吨．已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k＞0）．（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）
（1）写出y关于x的函数表达式，并指出这个函数的定义域；
（2）求鱼群年增长量的最大值及此时k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k＞0），所以得出解析式，根据实际情况得到定义域；
（2）因为y为开口向下的抛物线，当x=-

b

2a

时，又因为鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨不超过m，得到k的不等式，求出k的取值范围即可．

解答：解：（1）由题意，空闲率为1-

x

m

，所以y=kx（1-

x

m

），定义域（0，m）．
（2）由（1）得y=kx（1-

x

m

）=-

k

m

(x-

m

2

)2+

km

4

，
因为x∈（0，m），k＞0，所以当x=

m

2

时，y_max=

km

4

．
由题意有0＜x+y＜m，即0＜

m

2

+

km

4

＜m．
因为m＞0，解得-2＜k＜2又k＞0，故k的取值范围为（0，2）．

点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，以及二次函数最值的求法．