Question

在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是

x=2+tcosα y= 3 +sinα

（t是参数，0≤α＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-

π

3

），直线l与曲线C相交于A、B两点．
（I）求曲线C的直角坐标方程，并指出它是什么曲线；
（II）若|AB|≥

13

，求α的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可把极坐标方程化为普通方程；
（Ⅱ）方法一：利用圆心C到直线l的距离d、r、

1

2

|AB|三者之间的关系：d=

r2-( 1 2 |AB|)2

，及|AB|≥

13

，即可求出答案；
方法二：把直线的参数方程代入圆的普通方程化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式|AB|=|t₁-t₂|和|AB|≥

13

即可得出的答案．

解答：解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-

π

3

），可化为ρ=4×

1

2

cosθ+4×

3

2

sinθ，
∴ρ2=2ρcosθ+2

3

sinθ，
∴曲线C的普通方程为x2+y2=2x+2

3

y，
即(x-1)2+(y-

3

)2=4，
∴曲线C是圆心为C(1，

3

)，半径r=2的圆．
（Ⅱ）方法一：∵r=2，弦|AB|≥

13

，
根据圆心C到直线l的距离d=

r2-( 1 2 |AB|)2

，
∴d≤

4- 13 4

=

3

2

．
当α=

π

2

时，圆心C到直线l的距离是1＞

3

2

，不成立；
当α≠

π

2

时，设k=tanα，则l：y-

3

=k(x-2)．
d=

|k- 3 + 3 -2k|

1+k2

=

|k|

1+k2

≤

3

2

，
解得-

3

≤k≤

3

，即-

3

≤tanα≤

3

．
∵0≤α＜π，∴α∈[0，

π

3

]∪[

2π

3

，π)，即为α的取值范围．
方法二：把

x=2+tcosα y= 3 +tsinα

代入曲线C的方程x2+y2=2x+2

3

y，
化为t²+2tcosα-3=0，
∴t₁+t₂=-2cosα，t₁t₂=-3．
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

2cos2α+14

，
∵|AB|≥

13

，
∴

2cos2α+14

≥

13

，
∴cos2α≥-

1

2

，
∵0≤α＜π，∴α∈[0，

π

3

]∪[

2π

3

，π)，即为α的取值α

点评：正确利用圆心C到直线l的距离d、r、

1

2

|AB|三者之间的关系：d=

r2-( 1 2 |AB|)2

，及直线l的参数方程中的t的意义是解题的关键．