题目内容

已知函数f（x）=x3+ax2-2x+5在上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，且函数f（x）的导数记为f'（x），则下列结论正确的是    ．（填序号）
①是方程f'（x）=0的根；②1是方程f'（x）=0的根；③有极小值f（1）；④有极大值； ⑤．
【答案】分析：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax-2，由题意可得f′（1）=0，则可得a=-可判断⑤
，f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1）可判断①②
由函数f（x）=x3+ax2-2x+5在上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，可判断③
由函数f（x）=x3+ax2-2x+5在上单调递减，在（1，+∞），上单调递增可判断④
解答：解：∵f′（x）=3x2+2ax-2
由函数f（x）=x3+ax2-2x+5在上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
可知f′（1）=0即2a+1=0
∴a=-
∴，f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1）
①x=-是方程的根，正确
②x=1是方程的根，正确
③由函数f（x）=x3+ax2-2x+5在上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，可知x=1是函数的极小值，③正确
④令f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1）＞0，可得
f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1）＜0可得，
则函数f（x）=x3+ax2-2x+5在上单调递减，在（1，+∞），上单调递增，故为函数的极大值，④正确
⑤正确
故答案为：①②③④⑤
点评：本题主要考查了利用函数的导数求解函数的单调区间、函数的极大与及小值，及函数的极值与导数对应的方程的根的关系的应用．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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