Question

20. 设，.

（Ⅰ）证明数列是常数数列；

（Ⅱ）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项.

Answer 1

解：（Ⅰ）当n≥2时，由已知得.

因为a_n=S_n-S_n-1≠0,所以S_n＋S_n-1=3n².　 ①

于是S_n+1＋S_n＝3(n+1)².　                       ②

由②－①得：a_n+1+a_n=6n+3.　                 ③

于是a_n+2+a_n+1=6n+9.　                         ④

由④－③得：a_n+2 - a_n＝6.　                     ⑤

即数列｛a_n+2–a_n｝(n≥2)是常数数列.

（Ⅱ）由①有S₂＋S₁＝12,所以a₂=12-2a，由③有a₃+a₂=15，所以a₃=3+2a.

而⑤表明：数列｛a_2k｝和｛a_2k+1｝分别是以a₂、a₃为首项，6为公差的等差数列，

所以a_2k =a₂+(k-1)×6=6k-2a+6, a_{2k +1}=a₃+(k-1)×6＝6k+2a-3,k∈N*.

由题设知，b_n=18×7^n-1,当a为奇数时，a_{2k +1}为奇数，而b_n为偶数，所以b_n不是数列｛a_{2k +1}｝中的项，b_n只可能是数列｛a_2k｝中的项.

若b₁＝18是数列｛a_2k｝中的第k₀项，由18＝6k₀-2a+6得a=3k₀-6,取k₀＝3,得a=3，此时a_2k =6k,由b_n= a_2k得18×7^n-1＝6k,k=3×7^n-1∈N*,从而b_n是数列｛a_n｝中的第6×7^n-1项.

（注：答案取满足a=3k₀-6,k₀∈N*的任一奇数，说明b_n是数列｛a_n｝中的第6×7^n-1＋－2项即可）