Question

用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可清除蔬菜上残留农药量的

1

2

，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）
（1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；
（2）设f(x)=

1

1+x2

现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）f（0）表示没有用水清洗，蔬菜上的农药量并没有变化，不妨设f（0）=1；
（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为：

1

1+a2

①；
用

a

2

单位量的水清洗2次后，残留的农药量为：

1

1+( a 2 )2

•

1

1+( a 2 )2

②；
作差①-②比较即可．

解答：解：（1）f（0）=1表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化
（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W1=1×f(a)=

1

1+a2

又如果用

a

2

单位量的水清洗1次，残留的农药量为1×f(

a

2

)=

1

1+( a 2 )2

此后再用

a

2

单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W2=

1

1+( a 2 )2

•f(

a

2

)=[

1

1+( a 2 )2

]2=

16

(4+a2)2

由于W1-W2=

1

1+a2

-

16

(4+a2)2

=

a2(a2-8)

(1+a2)(4+a2)2

当a＞2

2

时，W₁＞W₂此时，把a单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少
当a=2

2

时，W₁=W₂此时，两种清洗方式效果相同
当0＜a＜2

2

时，W₁＜W₂，此时，用a单位量的水一次清洗残留的农药量较少

点评：本题考查了一个自定义函数模型的实际应用，解题时要弄清题意，理解函数解析式的意义，并且在比较大小时用到作差法．