Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2BC=2，且AC⊥CB，O为线段AC的中点．
（Ⅰ）在BC₁上确定一点E，使得OE∥平面A₁ABB₁，并说明理由；
（Ⅱ）求直线BC₁与平面A₁BC所成角的正切值．

Answer 1

解：（1）如图，设E是BC₁中点，

取AB中点D，BB₁中点F，连接
OD，DF，EF，，在△ABC中OD是中位线，OD∥BC，OD=BC，，同理EF∥BC，EF=BC
∴ODFE是平行四边形，∴OE∥DF
∵OE?面A₁ABB₁，DF?面A₁ABB₁∴OE∥平面A₁ABB₁．
（2）如图，作C₁H垂直 A₁C于H连接HB，

∵侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，侧面AA₁C₁C∩底面ABC=AC，AC⊥CB
∴BC⊥面AA₁C₁C，∵BC?面A₁BC，∴面A₁BC⊥面AA₁C₁C，且面A₁BC∩面AA₁C₁C=A₁C
∴C₁H⊥面A₁BC，∴∠C₁BH为直线BC₁与平面A₁BC所成角．
∵△A₁C₁C是边长为2 的正三角形∴，H为A₁C的中点 C₁H=
在直角三角形BCA₁中，
BH==．
tan∠C₁BH===
分析：（1）取E是BC₁中点，AB中点D，BB₁中点F，证明ODFE是平行四边形，得OE∥DF，问题解决．
（2）作C₁H垂直 A₁C于H连接HB，证明∠C₁BH为直线BC₁与平面A₁BC所成角，在直角三角形C₁BH中计算．
点评：本题考查线面平行的判定，线面角的求解．考查空间想象能力，空间问题转化为平面问题的能力，以及计算能力．