题目内容
(1)如图,D是Rt△ABC的斜边AB上的中点,E和F分别在边AC和BC上,且ED⊥FD,求证:EF2=AE2+BF2(EF2表示线段EF长度的平方)(尝试用向量法证明)(2)已知函数f(x)=x3-3x图象上一点P(1,-2),过点P作直线l与y=f(x)图象相切,但切点异于点P,求直线l的方程.
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【答案】分析:(1)连接EF,取EF的中点为G,根据向量的加法法则得
,又
,从而有
,又AC⊥BC,展开上式即得证.
(2)由已知可得斜率函数为f′(x)=3x2-3,进而求出所过点切线的斜率,设另一切点为(x,y),代入点斜式公式,求出该点切线方程,再由条件计算.
解答:
解:(1)连接EF,取EF的中点为G,
又D是Rt△ABC的斜边AB上的中点,
∴
=
+
+
,
=
+
+
,
两式相加,注意到
,
,
得
,又在直角三角形EFD中,
,
故
,即![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202113052031272655/SYS201312021130520312726017_DA/16.png)
又AC⊥BC,展开上式即EF2=AE2+BF2
得证. (6分)
(其他方法也给分,向量的代数运算要引起学生的关注)
(2)设为(x,y)函数f(x)=x3-3x图象上任一点,
易得f′(x)=3x2-3,则
,
故(x,y)处切线为![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202113052031272655/SYS201312021130520312726017_DA/18.png)
又知过P(1,-2)点,代入解方程得:x=1(舍),![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202113052031272655/SYS201312021130520312726017_DA/19.png)
故所求直线的斜率
,从而切线方程为:9x+4y-1=0(12分)
点评:本题主要考查的是向量在几何中的应用、直线的点斜式方程的求解、导数的几何意义等,属于基础题.
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(2)由已知可得斜率函数为f′(x)=3x2-3,进而求出所过点切线的斜率,设另一切点为(x,y),代入点斜式公式,求出该点切线方程,再由条件计算.
解答:
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202113052031272655/SYS201312021130520312726017_DA/images3.png)
又D是Rt△ABC的斜边AB上的中点,
∴
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两式相加,注意到
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202113052031272655/SYS201312021130520312726017_DA/11.png)
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得
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故
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又AC⊥BC,展开上式即EF2=AE2+BF2
得证. (6分)
(其他方法也给分,向量的代数运算要引起学生的关注)
(2)设为(x,y)函数f(x)=x3-3x图象上任一点,
易得f′(x)=3x2-3,则
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202113052031272655/SYS201312021130520312726017_DA/17.png)
故(x,y)处切线为
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又知过P(1,-2)点,代入解方程得:x=1(舍),
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202113052031272655/SYS201312021130520312726017_DA/19.png)
故所求直线的斜率
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202113052031272655/SYS201312021130520312726017_DA/20.png)
点评:本题主要考查的是向量在几何中的应用、直线的点斜式方程的求解、导数的几何意义等,属于基础题.
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