题目内容

设数列的各项均为正实数,,若数列满足,其中为正常数,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)是否存在正整数,使得当时,恒成立?若存在,求出使结论成立的的取值范围和相应的的最小值;若不存在,请说明理由;
(3)若,设数列对任意的,都有成立,问数列是不是等比数列?若是,请求出其通项公式;若不是,请说明理由.

(1)详见解析;(2);(3)

解析试题分析:(1)由条件可知,数列为等差数列,又知,其通项公式易求,再根根据数列与数列的关系,可求出数列的通项公式;(2)由(1)中所求的数列的通项公式,可对进行化简,然后再对其考察;(3)当时,结合(1)的结果,可求出,代入中,设法对其变形处理,找到的递推关系再进行判断.
试题解析:
(1)因为,所以,所以数列是以为公差的等差数列,又,所以,          2分
故由,得.                     4分
(2)因为,所以
,所以,                                  6分
(ⅰ)当时,,解得,不符合题意;   7分
(ⅱ)当时,,解得.                8分
综上所述,当时,存在正整数使得恒成立,且的最小值为4.
9分
(3)因为,由(1)得
所以       ①,
    ②,
由②①,得                 ③, 12分
所以                   ④,
再由④③,得,即
所以当时,数列成等比数列,                          15分
又由①式,可得,则,所以数列一定是等比数列,且.
16分
(说明:若第(3)小题学生由前几项猜出等比数列,再代回验证的,扣3分)
考点:等差数列、等比数列.

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