题目内容
阅读不等式2x+1>3x的解法:
设
,函数
和
在R内都单调递减;则f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.
∵f(1)=1,∴
.
∵3x>0,∴
;
(1)试利用上面的方法解不等式2x+3x≥5x;
(2)证明:3x+4x=5x有且仅有一个实数解x=2.
解:(1)设
,函数
和
在R内都单调递减;则g(x)在(-∞,+∞)内单调递减,
∵g(1)=1,
;
∴不等式2x+3x≥5x的解集为:{x|x≤1};
(2)令
,函数
和
在R内都单调递减;则h(x在(-∞,+∞)内单调递减,
∵h(2)=2,
;
∴有且只有一个实数x=2使得
,即3x+4x=5x有且仅有一个实数解x=2.
分析:(1)可构造函数
,分析g(x)在(-∞,+∞)内单调性,从而可求得不等式2x+3x≥5x的解集;
(2)构造函数
,利用其在R上的单调性即可证明3x+4x=5x有且仅有一个实数解x=2.
点评:本题考查函数单调性的性质,难点在于合理构造函数,并灵活应用,属于中档题.



∵g(1)=1,

∴不等式2x+3x≥5x的解集为:{x|x≤1};
(2)令



∵h(2)=2,

∴有且只有一个实数x=2使得

分析:(1)可构造函数

(2)构造函数

点评:本题考查函数单调性的性质,难点在于合理构造函数,并灵活应用,属于中档题.

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