题目内容
设函数f(x)=x3+2bx2+cx-2的图象与x轴相交于一点P(t,0),且在点P(t,0)处的切线方程是y=5x-10.(I)求t的值及函数f(x)的解析式;
(II)设函数g(x)=f(x)+

(1)若g(x)的极值存在,求实数m的取值范围.
(2)假设g(x)有两个极值点x1,x2(且x1≥0,x2≥0),求x


【答案】分析:(I)利用条件f(x)与x轴相交于一点P(t,0),且在点P(t,0)处的切线方程是y=5x-10,求出对应的b,c.
(II)求函数的导数,利用函数的极值和导数的关系,确定m的取值范围.
解答:解:(I)设切点P(t.0)代入直线方程y=5x-10,得P (2,0),
且有f(2)=0,即4b+c+3=0…①…(2分)
又f'(x)=3x2+4bx+c,由已f'(2)=12+8b+c=5得8b+c+7=0 …②
联立①②,解得b=-1,c=1.
所以函数的解析式f(x)=x3-2x2+x-2 …(4分)
(II)(1)因为
,
,
当函数有极值时,则△≥0,方
有实数解,
由△=4(1-m)≥0,得m≤1. …(8分)
①当m=1时,g'(x)=0有实数x=
,在x=
的左右两侧均g'(x)>0,故函数g(x)无极值
②当m<1时,g'(x)=0有两个实数根x1,x2,(x1<x2).
g'(x),g(x)情况如下表:
所以在m∈(-∞,1)时,函数g(x)有极值;…(10分)
(2)由(1)得m∈(-∞,1)且x1+x2=
,
.
…(12分)
∵
.≥0,m∈(-∞,1)
∴
,-3≤m<1,故φ(m)有最大值为φ(-3)=
…(14分)
点评:本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值,要使熟练掌握导数和函数的单调性和极值的关系,运算量较大,综合性较强.
(II)求函数的导数,利用函数的极值和导数的关系,确定m的取值范围.
解答:解:(I)设切点P(t.0)代入直线方程y=5x-10,得P (2,0),
且有f(2)=0,即4b+c+3=0…①…(2分)
又f'(x)=3x2+4bx+c,由已f'(2)=12+8b+c=5得8b+c+7=0 …②
联立①②,解得b=-1,c=1.
所以函数的解析式f(x)=x3-2x2+x-2 …(4分)
(II)(1)因为


当函数有极值时,则△≥0,方

由△=4(1-m)≥0,得m≤1. …(8分)
①当m=1时,g'(x)=0有实数x=


②当m<1时,g'(x)=0有两个实数根x1,x2,(x1<x2).
g'(x),g(x)情况如下表:
x | (-∞,x1) | x1 | (x1,x2) | x2 | (x2,+∞) |
g'(x) | + | - | + | ||
g(x) | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
(2)由(1)得m∈(-∞,1)且x1+x2=



∵

∴


点评:本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值,要使熟练掌握导数和函数的单调性和极值的关系,运算量较大,综合性较强.

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