题目内容
如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=3，AB=2，D是A1B1的中点，E在线段CC1上且C1E=2．
（1）证明：DC⊥面ABE；
（2）求二面角D-AE-B的大小．
分析：（1）以O为坐标原点OB、OC、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系，由已知中ABC-A1B1C1是正三棱柱，AB=2，AA1=3，C1E=2，我们分别求出向量
，
，
的坐标，根据
•
=0
•
=0，得到DC⊥AB、DC⊥AE，进而由线面垂直的判定定理得到答案．
（2）分别求出平面ABE与平面ADE的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角D-AE-B的余弦值，进而得到二面角D-AE-B的大小．
| DC |
| AB |
| AE |
| DC |
| AB |
| DC |
| AE |
（2）分别求出平面ABE与平面ADE的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角D-AE-B的余弦值，进而得到二面角D-AE-B的大小．
解答：
解：（1）证明：已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，取AC中点O、A1C1中点F，连OF、OB，则OB、OC、OF两两垂直，
以OB、OC、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系．如图所示．
∵AB=2，AA1=3，C1E=2
∴A（0，-1，0），B(
，0，0)，E（0，1，1），C（0，1，0），D(
，-
，3)
∴
=(-
，
，-3)，
=(
，1，0)，
=(0，2，1)
∴
•
=0，
•
=0
于是，有DC⊥AB、DC⊥AE．
又因AB与AE相交，故DC⊥面ABE．（6分）
（2）由（1）得
=(-
，
，-3)为平面ABE的一个法向量
设
=（x，y，z）为平面ADE的一个法向量
则
，
即
令y=1，则
=（
，1，-2）
令二面角D-AE-B的平面角为θ
则cosθ=
∴二面角D-AE-B的大小θ=arccos
（12分）
解：（1）证明：已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，取AC中点O、A1C1中点F，连OF、OB，则OB、OC、OF两两垂直，以OB、OC、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系．如图所示．
∵AB=2，AA1=3，C1E=2
∴A（0，-1，0），B(
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| DC |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| AB |
| 3 |
| AE |
∴
| DC |
| AB |
| DC |
| AE |
于是，有DC⊥AB、DC⊥AE．
又因AB与AE相交，故DC⊥面ABE．（6分）
（2）由（1）得
| DC |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
设
| m |
则
|
即
|
令y=1，则
| m |
11
| ||
| 3 |
令二面角D-AE-B的平面角为θ
则cosθ=
| ||
| 68 |
∴二面角D-AE-B的大小θ=arccos
| ||
| 68 |
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，其中建立空间坐标系，将直线与平面的垂直问题，二面角问题，转化为空间向量夹角问题是解答本题的关键．
练习册系列答案
数学奥赛暑假天天练南京大学出版社系列答案
相关题目
如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长是2，D是棱BC的中点，点M 是棱BB1的中点，又CM⊥AC1，
如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为
如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长是2，D是棱BC的中点，点M在棱BB1上，且BM=
（2012•日照一模）如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都是2，D是侧棱CC1上任意一点，E是A1B1的中点．