题目内容
【题目】已知二次函数y=f(x)的图象过坐标原点,其导函数f′(x)=6x﹣2,数列{an}前n项和为Sn , 点(n,Sn)(n∈N*)均在y=f(x)的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 ,Tn是数列{bn}的前n项和,求当
对所有n∈N*都成立m取值范围.
【答案】
(1)解:依题意,f(x)=3x2﹣2x,
∵点(n,Sn)(n∈N*)均在y=f(x)的图象上,
∴Sn=f(n)=3n2﹣2n,
当n≥2时,Sn﹣1=3(n﹣1)2﹣2(n﹣1),
两式相减得:an=6n﹣5(n≥2),
又∵a1=S1=3﹣2=1满足上式,
∴数列{an}的通项公式an=6n﹣5
(2)解:由(1)可知 =
=
(
﹣
),
∴数列{bn}的前n项和Tn= (1﹣
+
﹣
+…+
﹣
)=
(1﹣
)=
,
∵Tn= (1﹣
)随着n的增大而增大,
∴Tn≥T1= =
,
又∵ 对所有n∈N*都成立,
∴ ≥
,解得:m≤
【解析】(1)通过图象特征及导函数可知f(x)=3x2﹣2x,并代入点(n,Sn)(n∈N*)整理可知Sn=3n2﹣2n,进而与Sn﹣1=3(n﹣1)2﹣2(n﹣1)(n≥2)作差,计算即得结论;(2)通过(1)裂项可知bn= (
﹣
),进而并项相加可知Tn=
,通过Tn=
(1﹣
)随着n的增大而增大可知
≥
,进而计算可得结论.
【考点精析】利用二次函数的性质和基本求导法则对题目进行判断即可得到答案,需要熟知当时,抛物线开口向上,函数在
上递减,在
上递增;当
时,抛物线开口向下,函数在
上递增,在
上递减;若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.
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