Question

20、甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；
（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．

Answer 1

分析：根据题意，记“第i局甲获胜”为事件A_i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B_i（j=3，4，5），
（1）“再赛2局结束这次比赛”包含“甲连胜3、4局”与“乙连胜3、4局”两个互斥的事件，而每局比赛之间是相互独立的，进而计算可得答案，
（2）若“甲获得这次比赛胜利”，即甲在后3局中，甲胜2局，包括3种情况，根据概率的计算方法，计算可得答案．

解答：解：记“第i局甲获胜”为事件A_i（i=3，4，5），
“第j局甲获胜”为事件B_i（j=3，4，5）．
（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A=A₃•A₄+B₃•B₄，
由于各局比赛结果相互独立，
故P（A）=P（A₃•A₄+B₃•B₄）=P（A₃•A₄）+P（B₃•B₄）=P（A₃）P（A₄）+P（B₃）P（B₄）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52．
（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，
因前两局中，甲、乙各胜1局，
故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，
甲先胜2局，从而B=A₃•A₄+B₃•A₄•A₅+A₃•B₄•A₅，
由于各局比赛结果相互独立，
故P（B）=P（A₃•A₄+B₃•A₄•A₅+A₃•B₄•A₅）
=P（A₃•A₄）+P（B₃•A₄•A₅）+P（A₃•B₄•A₅）
=P（A₃）P（A₄）+P（B₃）P（A₄）P（A₅）+P（A₃）P（B₄）P（A₅）
=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648

点评：本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，解题之前，要分析明确事件间的关系，一般先按互斥事件分情况，再由相互独立事件的概率公式，进行计算．