Question

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（I）求再赛2局结束这次比赛的概率；
（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的概率分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为前2局中，甲、乙各胜1局，所以再赛2局结束这次比赛包括后2局甲都胜或乙都胜，然后利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式求解；
（Ⅱ）从第3局开始到比赛结束最少进行2局，最多进行3局，（Ⅰ）中求出了进行2局比赛结束的概率，利用对立事件的概率求出进行3局比赛结束的概率，列出频率分布表后直接利用期望公式求期望．

解答：解：记A_i表示事件第i局甲获胜，i=3，4，5，B_j表示事件第j局乙获胜，j=3，4，5．
（I）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A=A₃A₄+B₃B₄，由于各局比赛结果相互独立，
故A=A₃A₄+B₃B₄，
故P（A）=P（A₃A₄+B₃B₄）=P（A₃A₄）+P（B₃B₄）
=P（A₃）P（A₄）+P（B₃）P（B₄）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52；
（II）ξ的可能取值为2，3．
由于各局比赛结果相互独立，所以P（ξ=2）=P（A₃A₄+B₃B₄）

=P(A3A4)+P(B3B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4) =0.6×0.6+0.4×0.4=0.52

P（ξ=3）=1-P（ξ=2）=1-0.52=0.48．
ξ的分布列为

ξ	2	3
P	0.52	0.48

Eξ=2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）=2×0.52+3×0.48=2.48．

点评：本题考查了互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，考查了离散型随机变量的分布列及期望的求法，关键是明确分布列中的概率和等于1，是中档题．