Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d，当x=-3和x=1时，f（x）取得极值．
（1）求b，c的值；
（2）若对任意x∈[-4，2]，都有f（x）≥-6d²成立，试求d的取值范围．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c，（2分）
∵当x=-3和x=1时，f（x）取得极值．∴f′（3）=0，f′（1）=0，（4分）
，解得，b=3，c=-9．（6分）
（2）由（1）知f（x）=x³+3x²-9x+d，
f′（x）=3x²+6x-9 f′（x）＞0，3x²+6x-9＞0，解得 x＜-3或x＞1，
∵x∈[-4，2]∴f（x）的增减区间、极值、端点值情况如下表：

x	-4	（-4，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	20+d	递增	极大值27+d	递减	极小值d-5	递增	2+d

对任x∈[-4，2]，都有f（x）≥-6d²成立，只需f（x）在[-4，2]上的最小值f（x）_min≥-6d²．
∴d的取值应满（12分）
解不等式组得，d≤-1或d≥，
∴d的取值范围是（-∞，-1）∪[，+∞）（14分）
分析：（1）若函数f（x）在一点取极值，则函数在此点的导数值为0，且在两侧的导数值符号相反．
（2）若在此区间上不等式恒成立，只需要最小值大于-6d²即可．利用导数确定函数的单调性，并利用单调性确定在此区间上的最小值．∈
点评：利用导数确定函数的单调性，利用单调性解决最值问题．注意在极值的两侧导数的符号是相反的．