Question

已知二次函数f(x)＝a＋bx＋c

(1)若a＞b＞c，且f(1)＝0，证明f(x)的图象与x轴有2个交点；

(2)在(1)的条件下，是否存在m∈R，使当f(m)＝－a成立时，f(m＋3)为正数，若存在，证明你的结论；若不存在，说明理由．

(3)若对、∈R．且＜，f()≠f()，方程f(x)＝[f()＋f()]有2个不等实根，证明必须有一实根属于(、)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝0且a＞b＞c，∴a＞0且c＜0，∴Δ＝－4ac＞0，∴f(x)的图象与x轴有两个交点． 　　(2)f(1)＝0，∴1为f(x)＝0的根，由韦达定理知另一根为，∵a＞0且c＜0，∴＜0＜1，又a＞b＞c，b＝－a－c，又a＞0，∴1＞－1－，∴－2＜假设存在m∈R使f(m)＝－a，则a(m－)(m－1)＝－a＜0，∴＜m＜1，∴m＋3＞＋3＞－2＋3＝1．∵f(x)在(1，＋∞)单调递增，∴f(m＋3)＞f(1)＝0，即存在这样的m使f(m＋3)＞0 　　(3)令g(x)＝f(x)－，则g(x)是二次函数．∵g()·g()＝[f()－]·≤0　　∵f()≠f()， 　　∴g()·g()＜0，∴g(x)＝0的根必有一个属于(，)．