Question

抛物线y²=8x的焦点为F，A（4，-2）为一定点，在抛物线上找一点M，当|MA|+|MF|为最小时，则M点的坐标

 

，当||MA|-|MF||为最大时，则M点的坐标

 

．

Answer 1

分析：根据抛物线定义可知|MF|=x_M+2判断出当直线AM垂直抛物线准线时|MA|+|MF|为最小，进而把y=-2代入抛物线方程求得M的纵坐标；当A，M，F三点共线，且M在x轴下方时||MA|-|MF||=|AF|最大．根据A，F坐标求得直线方程与抛物线方程联立求得x轴下方的交点．

解答：解：根据抛物线定义可知|MF|=x_M+2
∴当直线AM垂直抛物线准线时，|MA|+|MF|为最小，此时x_M=

1

2

，则y_M=-2
当A，M，F三点共线，且M在x轴下方时||MA|-|MF||=|AF|最大．
此时直线AF方程为y=-（x-2）与抛物线方程联立求得x_M=6+4

2

，y_M=-（6+4

2

-2）=-4

2

-4
故答案为（

1

2

，-2），（6+4

2

，-4

2

-4）

点评：本题主要考查了抛物线的应用．当涉及抛物线上的点与焦点的问题时，常需要借助抛物线的定义来解决．