Question

如图，三棱锥A-BCD中，△ABD是正三角形，CD⊥BD，AB=2，CD=1，AC=

5

．
（1）证明：CD⊥AB；
（2）求直线BC与平面ACD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由于CD⊥BD，再利用勾股定理证得 AD⊥CD，根据直线和平面垂直的判定定理可得 CD⊥平面 ABD，再利用直线和平面垂直的性质定理证得 CD⊥AB．
（2）取AD的中点M，根据条件证得∠BCM为直线BC与平面ACD所成角．在直角三角形BCM中，解三角形求得sin∠BCM=

BM

BC

的值，即为所求．

解答：解：（1）由于△ABD是正三角形，可得AB=2=AD，
再由CD⊥BD，CD=1，AC=

5

，
可得AC²=AD²+CD²，∴AD⊥CD．
再由 AD∩BD=D，可得 CD⊥平面 ABD．
再由AB?平面 ABD，可得 CD⊥AB．
（2）取AD的中点M，连接BM、CM，∵△ABD是正三角形，∴BM⊥AD．
由（1）知，CD⊥平面 ABD 又，CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面 ABD，
且平面ACD∩平面 ABD=AD，
故有BM⊥平面ACD．
故∠BCM为直线BC与平面ACD所成角．
再根据BC=

BD2+CD2

=

4+1

=

5

，BM=BD•sin60°=2×

3

2

=

3

，
故有 sin∠BCM=

BM

BC

=

3

5

=

15

5

．

点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、性质定理的应用；直线和平面所成的角的定义和求法，体现了转化的数学思想，属于中档题．