题目内容

二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足
p
m+2
+
q
m+1
+
r
m
=0,其中m>0,求证:
(1)pf(
m
m+1
)<0;
(2)方程f(x)=0在(0,1)内恒有解.
分析:(1)把x=
m
m+1
代入原函数,利用题设中p、q、r的关系进一步证明.
(2)先对p进行分类讨论,再对r进行分类讨论.
解答:证明:(1)pf(
m
m+1

=p[p(
m
m+1
2+q(
m
m+1
)+r]
=pm[
pm
(m+1)2
+
q
m+1
+
r
m
]
=pm[
pm
(m+1)2
-
p
m+2
]
=p2m[
m(m+2)-(m+1)2
(m+1)2(m+2)
]
=p2m[-
1
(m+1)2(m+2)
].
由于f(x)是二次函数,故p≠0.
又m>0,所以pf(
m
m+1
)<0.
(2)由题意,得f(0)=r,f(1)=p+q+r.
①当p>0时,由(1)知f(
m
m+1
)<0.
若r>0,则f(0)>0,又f(
m
m+1
)<0,
∴f(x)=0在(0,
m
m+1
)内有解;
若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)(-
p
m+2
-
r
m
)+r=
p
m+2
-
r
m
>0,
又f(
m
m+1
)<0,
所以f(x)=0在(
m
m+1
,1)内有解.
因此方程f(x)=0在(0,1)内恒有解.
②当p<0时,同样可以证得结论.
点评:(1)题目点明是“二次函数”,这就暗示着二次项系数p≠0,若将题中的“二次”两个字去掉,所证结论相应更改.
(2)对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的.本题的证明中,先对p分类,然后对r分类显然是比较好的.
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