题目内容
二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足p |
m+2 |
q |
m+1 |
r |
m |
(1)pf(
m |
m+1 |
(2)方程f(x)=0在(0,1)内恒有解.
分析:(1)把x=
代入原函数,利用题设中p、q、r的关系进一步证明.
(2)先对p进行分类讨论,再对r进行分类讨论.
m |
m+1 |
(2)先对p进行分类讨论,再对r进行分类讨论.
解答:证明:(1)pf(
)
=p[p(
)2+q(
)+r]
=pm[
+
+
]
=pm[
-
]
=p2m[
]
=p2m[-
].
由于f(x)是二次函数,故p≠0.
又m>0,所以pf(
)<0.
(2)由题意,得f(0)=r,f(1)=p+q+r.
①当p>0时,由(1)知f(
)<0.
若r>0,则f(0)>0,又f(
)<0,
∴f(x)=0在(0,
)内有解;
若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)(-
-
)+r=
-
>0,
又f(
)<0,
所以f(x)=0在(
,1)内有解.
因此方程f(x)=0在(0,1)内恒有解.
②当p<0时,同样可以证得结论.
m |
m+1 |
=p[p(
m |
m+1 |
m |
m+1 |
=pm[
pm |
(m+1)2 |
q |
m+1 |
r |
m |
=pm[
pm |
(m+1)2 |
p |
m+2 |
=p2m[
m(m+2)-(m+1)2 |
(m+1)2(m+2) |
=p2m[-
1 |
(m+1)2(m+2) |
由于f(x)是二次函数,故p≠0.
又m>0,所以pf(
m |
m+1 |
(2)由题意,得f(0)=r,f(1)=p+q+r.
①当p>0时,由(1)知f(
m |
m+1 |
若r>0,则f(0)>0,又f(
m |
m+1 |
∴f(x)=0在(0,
m |
m+1 |
若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)(-
p |
m+2 |
r |
m |
p |
m+2 |
r |
m |
又f(
m |
m+1 |
所以f(x)=0在(
m |
m+1 |
因此方程f(x)=0在(0,1)内恒有解.
②当p<0时,同样可以证得结论.
点评:(1)题目点明是“二次函数”,这就暗示着二次项系数p≠0,若将题中的“二次”两个字去掉,所证结论相应更改.
(2)对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的.本题的证明中,先对p分类,然后对r分类显然是比较好的.
(2)对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的.本题的证明中,先对p分类,然后对r分类显然是比较好的.

练习册系列答案
相关题目