题目内容

（附加题）已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），在x∈（0，1]时，f（x）= $数学公式$ ．
（1）当x∈[-1，1]时，求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=-2^x•f（x）（-1＜x＜0），求函数y=g（x）的值域；
（3）若关于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，求实数λ的取值范围．

解：（1）当x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]．
∵f（x）是奇函数，x∈（0，1]时，f（x）= $\text{[math]}$ ，
∴f（x）=-f（-x）=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
∵f（0）=f（-0）=-f（0），∴f（0）=0，
∴在区间[-1，1]上，有f（x）= $\text{[math]}$ ；
（2）-1＜x＜0时，g（x）=2^x• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ，
∵-1＜x＜0，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴函数y=g（x）的值域为[ $\text{[math]}$ ]；
（3）关于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，等价于λ• $\text{[math]}$ ＜1在x∈（0，1]上有解
即λ＜ $\text{[math]}$ 在x∈（0，1]上有解
令h（x）= $\text{[math]}$ ，则h′（x）= $\text{[math]}$
∵x∈（0，1]，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1]上单调递增
∴2＜h（x）≤ $\text{[math]}$
∵λ＜ $\text{[math]}$ 在x∈（0，1]上有解
∴λ＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）定义在R上的奇函数f（x），可得f（0）=0，结合x∈（-1，0）时，f（x）的解析式，函数的奇偶性可得结论；
（2）求出函数g（x）的解析式，写成部分分式的形式，即可求函数y=g（x）的值域；
（3）关于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，等价于λ• $\text{[math]}$ ＜1在x∈（0，1]上有解，即λ＜ $\text{[math]}$ 在x∈（0，1]上有解，确定右边对应函数的值域，即可得到结论．
点评：本题考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，考查函数的值域，考查不等式有解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．