Question

A，B，C是表面积为48π的球面O（O为球心）上的三点，若AB=2，BC=4，∠ABC=60°，则三棱锥O-ABC的体积为

4 6

3

．

Answer 1

分析：先求球的半径，确定小圆中三角形ABC的特征，作出三棱锥O-ABC的高，然后解三角形求出三棱锥O-ABC的底面面积及三棱锥O-ABC的高，即可得到三棱锥O-ABC的体积．

解答：解：表面积为48π的球面，它的半径是R，则48π=4πR²，R=2

3

，
因为 AB=2，BC=4，∠ABC=60°，所以∠BAC=90°，BC为小圆的直径，
则平面OBC⊥平面ABC，D为小圆的圆心，
所以OD⊥平面ABC，OD就是三棱锥O-ABC的高，
OD=

(2 3 )2-22

=2

2

，
则三棱锥O-ABC的体积为V=

1

3

×

1

2

×AB×AC×OD=

1

3

×

1

2

×2×2

3

×2

2

=

4 6

3

故答案为：

4 6

3

．

点评：本题考查球的有关计算问题，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．