Question

如图，A，B，C是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是

arccos

3

3

．

Answer 1

分析：先设O在截面ABC上的射影是O₁，根据球的性质可得∠OAO₁为直线OA与截面ABC所成的角；在通过正弦定理以及余弦定理的应用求出小圆半径，即可得到结论．

解答：解：设O在截面ABC上的射影是O₁，
则O₁为截面三角形ABC的外心，连接AO₁，
则∠OAO₁为直线OA与截面ABC所成的角．
球的半径为R，小圆半径为r．
由球的表面积为48π，得R=2

3

，
在△ABC中，有余弦定理得AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC=4+16-16cos60°=12⇒AC=2

3

，
由正弦定理得

AC

sin∠ABC

=

2 3

3 2

=4=2r，即r=2．
∴cos∠OAO₁=

O 1A

OA

=

r

R

=

2

2 3

=

3

3

．
∴直线OA与截面ABC所成的角是：arccos

3

3

．
故答案为：arccos

3

3

．

点评：本题主要考察球的相关知识，解三角形以及直线与平面所成的角．解决本题的关键在于熟悉球中的相关结论：球心与截面圆心的连线与截面垂直．