题目内容

（考生注意：本题请从以下甲乙两题中任选一题作答，若两题都答只以甲题计分）
甲：设数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=2-S_n；数列{a_n} 为等差数列，且a₅=9，a₇=13．
（Ⅰ）求数列 {b_n} 的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=a_nb_n（n=1，2，3，…），T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n．
乙：定义在[-1，1]上的奇函数f（x），已知当x∈[-1，0]时，f（x）= $数学公式$ （a∈R）
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（Ⅱ）若f（x）是[0，1]上的增函数，求实数a的取值范围．

甲：解：（Ⅰ）由b_n=2-S_n，令n=1，则b₁=2-S₁，∴b₁=1，…（1分）
当n≥2时，由b_n=2-S_n，可得b_n-b_n-1=-（S_n-S_n-1）=-b_n，…（3分）
∴b_n= $\text{[math]}$ b_n-1，…（4分）
∴数列{b_n}是以1为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列
∴b_n= $\text{[math]}$ ．…（6分）
（Ⅱ）数列{a_n}为等差数列，公差d= $\text{[math]}$ （a₇-a₅）=2，∴a_n=2n-1，…（8分）
从而c_n=a_nb_n=（2n-1）• $\text{[math]}$ ，…（9分）
∴T_n=1+ $\text{[math]}$ +…+（2n-1）• $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ T_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+（2n-3）• $\text{[math]}$ +（2n-1）• $\text{[math]}$
两式相减可得： $\text{[math]}$ T_n=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ -（2n-1）• $\text{[math]}$ =3- $\text{[math]}$ …（11分）
从而T_n=6- $\text{[math]}$ ．…（12分）
乙：解：（Ⅰ）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，∴f（-x）=4^x-a•2^x
∵f（-x）=-f（x），∴f（x）=a•2^x-4^x，x∈[0，1]，…（3分）
令t=2^x，则t∈[1，2]，∴g（t）=at-t²=-（t- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$
∴当 $\text{[math]}$ ，即a≤2时，g（t）_max=g（1）=a-1；
当 $\text{[math]}$ ，即2＜a＜4时，g（t）_max=g（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；
当 $\text{[math]}$ ，即a≥4时，g（t）_max=g（2）=2a-4；．…（8分）
（Ⅱ）因为函数f（x）在[0，1]上是增函数，
所以f′（x）=2^xln2（a-2•2^x）≥0 …（10分）
∴a≥2•2^x恒成立
∵x∈[0，1]
∴a≥4 …（12分）
分析：甲：（Ⅰ）利用b_n=2-S_n，再写一式，两式相减，可得数列{b_n}是以1为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列，即可得到结论；
（Ⅱ）确定数列的通项，利用错位相减法求和即可；
乙：（Ⅰ）确定函数的解析式，再换元，利用配方法，分类讨论，可求f（x）在[0，1]上的最大值；
（Ⅱ）求导函数，可得f′（x）=2^xln2（a-2•2^x）≥0，由此可求实数a的取值范围．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．