题目内容
设椭圆

(1)求椭圆的离心率;
(2)直线


(3)设点N(0,3)在椭圆C内部,若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于

【答案】分析:(1)先把点P,Q的坐标用a,b,c表示出来,再利用直线PQ的斜率为
,即可求椭圆的离心率;
(2)先求出点A,F1,B以及M的坐标和圆的半径,再利用
可得M到直线l的距离为
.就可求出a,b,c的值进而求出椭圆方程;
(3)先利用点N(0,3)在椭圆C内部求出b的范围,再求出椭圆C上的点到点N的距离的表达式,利用题中条件转化为恒成立问题来求椭圆C的短轴长的取值范围.
解答:解:(1)由条件可知
因为
,所以
(4分)
(2)由(1)可知,
所以
从而M(c,0).半径为a,
因为
,
所以∠EMF=120°,可得:M到直线l的距离为
.
所以c=2,所以椭圆方程为
.(8分)
(3)因为点N在椭圆内部,
所以b>3.(9分)
设椭圆上任意一点为K(x,y),
则
.
由条件可以整理得:y2+18y-4b2+189≥0
对任意y∈[-b,b](b>3)恒成立,
所以有:
或者
解之得:
(13分)
点评:本题综合考查了圆与椭圆的综合,直线与椭圆的位置关系以及向量的数量积问题.直线与圆锥曲线的位置关系,由于集中交汇了直线,圆锥曲线两章的知识内容,综合性强,能力要求高,还涉及到函数,方程,不等式,平面几何等许多知识,可以有效的考查函数与方程的思想,数形结合的思想,分类讨论的思想和转化化归的思想,因此,这一部分内容也成了高考的热点和重点

(2)先求出点A,F1,B以及M的坐标和圆的半径,再利用


(3)先利用点N(0,3)在椭圆C内部求出b的范围,再求出椭圆C上的点到点N的距离的表达式,利用题中条件转化为恒成立问题来求椭圆C的短轴长的取值范围.
解答:解:(1)由条件可知

因为


(2)由(1)可知,

所以

从而M(c,0).半径为a,
因为

所以∠EMF=120°,可得:M到直线l的距离为

所以c=2,所以椭圆方程为

(3)因为点N在椭圆内部,
所以b>3.(9分)
设椭圆上任意一点为K(x,y),
则

由条件可以整理得:y2+18y-4b2+189≥0
对任意y∈[-b,b](b>3)恒成立,
所以有:

或者

解之得:

点评:本题综合考查了圆与椭圆的综合,直线与椭圆的位置关系以及向量的数量积问题.直线与圆锥曲线的位置关系,由于集中交汇了直线,圆锥曲线两章的知识内容,综合性强,能力要求高,还涉及到函数,方程,不等式,平面几何等许多知识,可以有效的考查函数与方程的思想,数形结合的思想,分类讨论的思想和转化化归的思想,因此,这一部分内容也成了高考的热点和重点

练习册系列答案
相关题目