Question

8、函数y=f（x）是R上的奇函数，满足f（3+x）=f（3-x），当x∈（0，3）时f（x）=2^x，则当x∈（-6，-3）时，f（x）=（　　）

A、2^x+6

B、-2^x+6

C、2^x-6

D、-2^x-6

Answer 1

分析：由已知中定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（3+x）=f（3-x），我们可以求出函数的对称轴和对称中心，根据函数对称性与周期性之间的关系，我们易求出函数的周期，进而结合当x∈（0，3）时f（x）=2^x，即可求出当x∈（-6，-3）时，f（x）的解析式．

解答：解：∵f（3+x）=f（3-x），
故直线x=3是函数y=f（x）的一条对称轴
又由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
故原点（0，0）是函数y=f（x）的一个对称中心
则T=12是函数y=f（x）的一个周期
设x∈（-6，-3）则x+6∈（0，3）时f（x+6）=2^x+6=f（-x）=-f（x）
即f（x）=-2^x+6
故选B

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性的性质，函数的对称性，函数的同期性，其中根据直线x=a是函数图象的对称轴，（b，0）是函数图象的对称中心，则T=4|a-b|是函数的周期是解答本题的关系．